tag:blogger.com,1999:blog-398420085248706856.post2452095950635228051..comments2023-06-21T21:47:08.586+08:00Comments on hoamon's sandbox: 數學證明:S 為一有 k 個元素的自然數組合,其元素們的和、積依序為 a、b。若 T 亦為一有 k 個元素的自然數組合,其元素們的和、積亦依序為 a、b,則 S=T。hoamonhttp://www.blogger.com/profile/03979063804278011312noreply@blogger.comBlogger8125tag:blogger.com,1999:blog-398420085248706856.post-54717751791164310052007-07-31T08:56:00.000+08:002007-07-31T08:56:00.000+08:00to cookeyholder: 我比較希望有人指教我的文章,所以感謝你了。to cookeyholder: 我比較希望有人指教我的文章,所以感謝你了。hoamonhttps://www.blogger.com/profile/03979063804278011312noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-398420085248706856.post-17701910637092226732007-07-31T08:11:00.000+08:002007-07-31T08:11:00.000+08:00cookeyholder的見解果然仔細,我個人受教了。關於您第一段的解說我一開始也有想要以n維自然數...cookeyholder的見解果然仔細,我個人受教了。<BR/><BR/>關於您第一段的解說我一開始也有想要以n維自然數的定義域對應到二維自然數值域來取代,不知道您的看法怎麼樣?<BR/><BR/>數學歸納法的說明只是為了要能精簡站長的證明,也就是說將後半段的證明改以數學歸納法說明比較省事,並非要把前半段割裂或除去,否則也不完整。<BR/><BR/>至於我的證明方式只是在強調唯一性時常用的方法,就是假定非唯一,但和事實矛盾,因此唯一。並不是非得如此,因cookeyholder您用二次方程式的解法應該只能說明必定存在,而無法說明唯一的性質吧?<BR/><BR/>另外關於站長的幾何直觀想法的確是不錯的,我自己也常常利用這種方法,但是畢竟不能算是嚴格的證明過程(也不能說錯,這點我想我已經修正),希望我的理解不會和您差太多,謝謝您的指教!小龍https://www.blogger.com/profile/05295604519880694851noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-398420085248706856.post-15573265958296719082007-07-31T04:28:00.000+08:002007-07-31T04:28:00.000+08:00集合裡面的元素應該是不重覆的,所以 { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 1 } 這個集合應...集合裡面的元素應該是不重覆的,所以 { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 1 } 這個集合應該寫成 {1,2,3,4,5,6}。但是從 hoamon 站長的文章看來,他的意思應該是希望元素可以重覆出現的,建議可以使用有限項的自然數數列來取代原來所說的集合。另外一個集合的和、積沒有一般性的定義,所以應該特別說明是元素相加、相乘。<BR/><BR/>為了方便,在這邊先假設集合裡的元素是可以重覆出現的。在原來的題目裡似乎邏輯順序倒了過來,我想題目應該改為:「S 為一有 k 個元素的自然數子集,其元素們的和、積依序為 a、b。若 T 亦為一有 k 個元素的自然數子集,其元素們的和、積亦依序為 a、b,則 S=T。」<BR/><BR/>同時站長整篇文章的兩個步驟合起來才算得上是數學歸納法,而不是只有後半段。因為數學歸納法就像在推骨牌,除了確定前一個骨牌倒下會推倒後一個骨牌以外,還要確定第一個骨牌會倒下,而站長的前半段就在做這件事。<BR/><BR/>所以我想在前半段的證明中,可以先假設已有 S={x,y},其中 x*y=a、x+y=b,再假設 T={m,n},其中 m*n=a、m+n=b,再想辦法解釋 S=T。<BR/><BR/>基本上我認為站長的想法是行得通的,只是在文字解釋不清而已。因為 x、y 為 t^2-bt+a=0 這個一元二次方程式的兩根,m、n 也是 t^2-bt+a=0 的兩根,因為 x、y 為已知數,故 t^2-bt+a=0 不會無解,所以 {x,y}={m,n}。直接跳到結論 {x,y}={m,n} 是快了點,就證明而言應該再把 case 細分,但我只是想表示我覺得站長原來的想法是個不錯的想法,只因為其中帶有幾何的直觀。<BR/><BR/>對於小龍的反證我有個不解想請問小龍,就是為什麼要假設 m, n 不同於 X、Y 任一數?因為我看不出需要這樣假設的理由。<BR/><BR/>我在 Ubuntu TW 看到站長的文章,剛好有興趣就跑過來回了一大堆,希望站長不要見怪啊 :-)cookeyholderhttps://www.blogger.com/profile/15263968998425936236noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-398420085248706856.post-12248327603570188392007-07-30T20:06:00.000+08:002007-07-30T20:06:00.000+08:00數學的嚴格證明是需要說出因為這樣,所以所有的情況都適用的。意思就是要窮舉,你只舉出了兩個例子:X=3...數學的嚴格證明是需要說出因為這樣,所以所有的情況都適用的。意思就是要窮舉,你只舉出了兩個例子:X=3, Y=3和X=2, Y=3,對一篇報告來說都嫌少,所以我才會說不算證明。或者我應該說不算嚴格的證明,只能算是個合理的猜測而已。<BR/><BR/>但是對你而言只要猜的對、用的好大概已經夠了,其實也不太需要什麼嚴格證明(要知道微積分這東西是大家先用了近百年才有嚴格證明出現的)。但是因為你要我找出你證明上有沒有漏洞,所以我才提出來的。小龍https://www.blogger.com/profile/05295604519880694851noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-398420085248706856.post-55700142375958937572007-07-30T10:29:00.000+08:002007-07-30T10:29:00.000+08:00有人問我,為什麼要寫這個無聊的證明呢!我與它有什麼關係?這關係可大了,如果沒有這個特性,我的研究所入...有人問我,為什麼要寫這個無聊的證明呢!我與它有什麼關係?<BR/><BR/>這關係可大了,如果沒有這個特性,我的<A HREF="http://hoamon.blogspot.com/2007/07/blog-post_3196.html" REL="nofollow">研究所入學考試</A>會少 20 分,這樣,我就得去唸朝陽營管,或許我會學的是 VB + 基因演算法,或許我永遠遇不到 Linux 及 Open Source 了。hoamonhttps://www.blogger.com/profile/03979063804278011312noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-398420085248706856.post-64206216487710848012007-07-30T10:23:00.000+08:002007-07-30T10:23:00.000+08:00我的前段證明是利用直線與一條凹向上曲線來作說明的,因為它們的交點只會有 0、1、2 個的三種情況。因...我的前段證明是利用直線與一條凹向上曲線來作說明的,因為它們的交點只會有 0、1、2 個的三種情況。<BR/><BR/>因為我們的題型設計所以不會出現 0 個交點的情形,而出現 1 個交點時代表 X = Y ,出現 2 個交點時,表示 X, Y 互換。<BR/><BR/>既然不會出現 3 個以上交點,所以表示積、和數對解符合惟一的特性。<BR/><BR/>這樣不算證明嗎?或者我只是文筆不好,沒讓你看懂。<BR/><BR/>但你的證法的確比較簡潔。hoamonhttps://www.blogger.com/profile/03979063804278011312noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-398420085248706856.post-81625739576199307772007-07-30T09:44:00.000+08:002007-07-30T09:44:00.000+08:00一、請把題目改成:在相同個數的自然數子集合中,其子集合的積、和數對解惟一。例如:{ 1, 2, 3,...一、請把題目改成:<BR/>在相同個數的自然數子集合中,其子集合的積、和數對解惟一。例如:{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 1 }的積、和數對解為{720, 23}。<BR/><BR/>二、後半段證明可以直說為:數學歸納法。前半段不是證明,因為只簡單的用兩個特例的圖形說明,無法證明當 X、Y 為任意數字時是正確的。<BR/><BR/>其實前半證明也很簡單,國中數學基礎就夠了。<BR/>我用反證法如下:<BR/> X * Y = A, X + Y = B 若存在 m, n 屬於自然數且不同於 X、Y 任一數,而且 m * n = A, m + n = B<BR/>則 X * Y = m * n → m = X * Y/n<BR/>因為 X + Y = m + n<BR/>所以 X + Y = X * Y/n + n<BR/>(X + Y)n = X * Y + n^2<BR/>n^2 - (X + Y)n + X * Y = 0<BR/>(n - X)(n - Y) = 0<BR/>n = X or n = Y 與假設矛盾<BR/>故不存在自然數 m 與 n 符合題意<BR/><BR/>給你參考。小龍https://www.blogger.com/profile/05295604519880694851noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-398420085248706856.post-50603058021299873452007-07-23T23:40:00.000+08:002007-07-23T23:40:00.000+08:00This looks so neat!This looks so neat!Kyle Huanghttps://www.blogger.com/profile/00717722499874252573noreply@blogger.com